Questões Práticas Resolvidas
🎲 Questão de Probabilidade: Lampiões em uma Vila
Enunciado:
Em uma vila onde o fornecimento elétrico é instável, cada morador possui um lampião a querosene. Estudos mostram que, em média, 1 em cada 5 lampiões falha ao ser aceso devido a impurezas no combustível.
Durante uma noite de apagão, 6 moradores tentam acender seus lampiões independentemente.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem ao acender?
- Qual a probabilidade de pelo menos 1 lampião funcionar corretamente?
- Se um morador substitui o querosene por um combustível filtrado que reduz a chance de falha para 10%, qual a nova probabilidade de nenhum lampião falhar entre os 6?
Resolução Detalhada
O problema pode ser modelado usando a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes ($n=6$), cada uma com dois resultados possíveis (falha ou sucesso) e uma probabilidade constante de falha ($p=1/5=0.2$).
Seja $X$ o número de lampiões que falham. Temos $X \sim \text{Binomial}(n=6, p=0.2)$.
1. Probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem
Usamos a fórmula da função de probabilidade binomial:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]Para $k=2$, $n=6$ e $p=0.2$:
\[P(X=2) = \binom{6}{2} (0.2)^2 (0.8)^4\]Calculando cada termo separadamente:
\[\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\] \[(0.2)^2 = 0.04\] \[(0.8)^4 = 0.4096\]Juntando os resultados:
\[P(X=2) = 15 \cdot 0.04 \cdot 0.4096\] \[P(X=2) = 0.24576\]A probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem é de 24,58%.
2. Probabilidade de pelo menos 1 lampião funcionar corretamente
“Pelo menos 1 funcionar” é o evento complementar de “nenhum funcionar”, ou seja, “todos os 6 falharem”. \(P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 1 - P(\text{todos os 6 falham})\) A probabilidade de todos os 6 falharem corresponde a $P(X=6)$:
\[P(X=6) = \binom{6}{6} (0.2)^6 (0.8)^0\] \[P(X=6) = 1 \cdot (0.2)^6 \cdot 1\] \[P(X=6) = 0.000064\]Agora, calculamos a probabilidade complementar:
\[P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 1 - 0.000064\] \[P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 0.999936\]A probabilidade é de 99,99%, ou seja, é quase certo que pelo menos um lampião acenderá.
3. Nova probabilidade com combustível filtrado
Com o novo combustível, a probabilidade de falha é $p’ = 0.1$. A probabilidade de um lampião funcionar é $1 - p’ = 0.9$.
A pergunta é a probabilidade de nenhum lampião falhar, que corresponde a $P(X=0)$ com a nova probabilidade $p’=0.1$.
\[P(X=0) = \binom{6}{0} (0.1)^0 (0.9)^6\] \[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^6\] \[P(X=0) = 0.531441\]Com o combustível filtrado, a probabilidade de nenhum lampião falhar é de 53,14%.
- Probabilidade de exatamente 2 falhas: 24,58%
- Probabilidade de pelo menos 1 funcionar: 99,99%
- Probabilidade de nenhuma falha (combustível novo): 53,14%
🎲 Questão 2: A Vida Útil dos Lampiões (Distribuição Exponencial)
Enunciado:
Sabe-se que a vida útil (em horas) de um lampião de citronela segue uma distribuição exponencial com média de 6 horas (ou seja, o parâmetro de taxa $\lambda = 1/6$).
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas?
- Se um morador tem 4 lampiões idênticos, qual a probabilidade de pelo menos um deles durar mais de 8 horas?
- Determine a mediana da distribuição (o tempo em que metade dos lampiões já se apagou).
- Se um lampião já está aceso há 6 horas, qual a probabilidade de ele continuar aceso por pelo menos mais 4 horas? (Dica: use a propriedade de "falta de memória").
Resolução Detalhada
A vida útil $T$ de um lampião segue uma distribuição Exponencial com média $E[T] = 6$ horas. O parâmetro de taxa $\lambda$ é o inverso da média, então $\lambda = 1/6$.
A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é
\[P(T > t) = e^{-\lambda t}\]1. Probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas
Usamos a função de sobrevivência com $t=8$:
\[P(T > 8) = e^{-\lambda \cdot 8}\] \[P(T > 8) = e^{-(1/6) \cdot 8} = e^{-8/6} \approx e^{-1.333}\] \[P(T > 8) \approx 0.2636\]A probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas é de 26,36%.
2. Probabilidade de pelo menos 1 de 4 lampiões durar mais de 8 horas
Este é o evento complementar de “nenhum dos 4 lampiões durar mais de 8 horas”. Seja $p = P(T > 8) \approx 0.2636$. A probabilidade de um lampião NÃO durar mais de 8 horas é $1-p$.
\[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - P(\text{nenhum > 8h})\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - (1 - p)^4\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - (1 - 0.2636)^4 = 1 - (0.7364)^4\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) \approx 1 - 0.2941 \approx 0.7059\]A probabilidade de pelo menos um dos quatro lampiões durar mais de 8 horas é de 70,59%.
3. Mediana da distribuição
A mediana $m$ é o tempo $t$ para o qual $P(T > m) = 0.5$.
\[e^{-\lambda m} = 0.5\]Resolvendo para $m$:
\[-\lambda m = \ln(0.5) = -\ln(2)\] \[m = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \ln(2) \cdot 6\] \[m \approx 0.6931 \cdot 6 \approx 4.1586 \text{ horas}\]A mediana da vida útil é de aproximadamente 4,16 horas. Metade dos lampiões terá se apagado antes desse tempo.
4. Probabilidade condicional (Propriedade de Falta de Memória)
A distribuição exponencial tem a propriedade de “falta de memória”, que diz:
\[P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)\]Queremos saber a probabilidade de o lampião durar mais 4 horas, dado que já durou 6 horas. Ou seja, $s=6$ e $t=4$.
\[P(T > 6+4 \mid T > 6) = P(T > 4)\]Calculamos $P(T > 4)$:
\[P(T > 4) = e^{-\lambda \cdot 4} = e^{-(1/6) \cdot 4} = e^{-4/6} \approx e^{-0.667}\] \[P(T > 4) \approx 0.5134\]A probabilidade de o lampião durar pelo menos mais 4 horas é de 51,34%, independentemente do fato de já estar aceso há 6 horas.
- Probabilidade de durar > 8h: 26,36%
- Probabilidade de pelo menos 1 de 4 durar > 8h: 70,59%
- Mediana da vida útil: 4,16 horas
- Probabilidade de durar mais 4h (dado 6h): 51,34%
Referências
- Ross, S. M. Introduction to Probability Models. 12ª ed. Academic Press, 2019.
- Papoulis, A.; Pillai, S. U. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4ª ed. McGraw-Hill, 2002.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1, 3ª ed. Wiley, 1968.
- DeGroot, M. H.; Schervish, M. J. Probability and Statistics. 4ª ed. Pearson, 2012.
- Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. Introduction to the Theory of Statistics. 3ª ed. McGraw-Hill, 1974.