As medidas de tendência central são ferramentas fundamentais na estatística descritiva. Elas nos ajudam a entender para onde os dados “apontam”, ou seja, qual é o valor em torno do qual os dados tendem a se concentrar.
As três medidas mais comuns são:
- Média Aritmética
- Mediana
- Moda
Cada uma é útil em diferentes contextos, dependendo do tipo de dado e da forma da distribuição.
Em distribuições assimétricas, como a de renda ou tempos de espera, a média pode não representar bem a tendência central.
Nesses casos, prefira a mediana ou a moda, conforme o objetivo da análise estatística.
1. Média Aritmética
A média aritmética é o valor obtido somando todos os elementos do conjunto e dividindo pelo número total de elementos.
Fórmula
\[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\]- Σxᵢ: soma de todos os valores
- n: número de observações
Exemplo Prático
Considere as idades: 20, 22, 24, 26, 28
Considere os seguintes valores:
$x_1 = 20$,
$x_2 = 22$,
$x_3 = 24$,
$x_4 = 26$,
$x_5 = 28$
A média aritmética $\bar{x}$ é dada por:
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{n}\]Substituindo os valores:
\[\bar{x} = \frac{20 + 22 + 24 + 26 + 28}{5}\] \[\bar{x} = \frac{120}{5}\] \[\bar{x} = 24\]Quando usar com cautela
- Alta sensibilidade a valores atípicos (outliers)
- Pode não representar bem a centralidade em distribuições assimétricas
💻 Exemplo em Julia
Vamos calcular a média aritmética em Julia:
# Carregando o pacote Statistics
using Statistics
# Dados do exemplo
idades = [20, 22, 24, 26, 28]
# Calculando a média
media = mean(idades)
println("Idades: ", idades)
println("Média: ", media)
# Cálculo manual
soma = sum(idades)
n = length(idades)
media_manual = soma / n
println("Soma: ", soma)
println("Quantidade: ", n)
println("Média (manual): ", media_manual)Saída esperada:
💡 Curiosidade
A média é muito usada em indicadores sociais, como o PIB per capita, mas nem sempre representa fielmente a realidade de todos os indivíduos de uma população.
Na estatística, diferentes símbolos são usados para representar a média, dependendo do contexto (amostral, populacional, etc.). Abaixo estão os mais comuns:
1. Média Aritmética Amostral
Símbolo: $\bar{x}$ (lê-se: “x barra”)
Significado: Representa a média de uma amostra.
Fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Onde:
- $\bar{x}$: média amostral
- $x_i$: i-ésimo valor da amostra
- $n$: número total de observações na amostra
- $\sum$: símbolo de somatório (soma de todos os valores)
2. Média Aritmética Populacional
Símbolo: $\mu$ (letra grega “mi”)
Significado: Representa a média de uma população inteira.
Fórmula: $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} $
Onde:
- $\mu$: média populacional
- $x_i$: i-ésimo valor da população
- $N$: número total de elementos da população
3. Somatório
Símbolo: $\sum$ (letra grega “sigma maiúsculo”)
Significado: Indica a soma de uma sequência de valores.
Exemplo: $\sum_{i=1}^{5} x_i = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$
4. Subscrito $i$
Símbolo: $x_i$
Significado: Representa o i-ésimo elemento da amostra ou população.
Usado para indicar que estamos trabalhando com uma sequência de dados, como $x_1, x_2, …, x_n$.
Resumo
| Símbolo | Nome | Representa |
|---|---|---|
| $\bar{x}$ | x barra | Média amostral |
| $\mu$ | mi | Média populacional |
| $\sum$ | sigma maiúsculo | Somatório (soma dos valores) |
| $x_i$ | x sub i | i-ésimo elemento da amostra/população |
Curiosidade 📚
- A média amostral ($\bar{x}$) é uma estimativa pontual da média populacional ($\mu$).
- Em análise estatística inferencial, usamos $\bar{x}$ para inferir ou estimar $\mu$.
2. Mediana
A mediana é o valor central de um conjunto ordenado. Ela divide o conjunto em duas partes com o mesmo número de observações.
Definição
Seja um conjunto de dados ordenado ${x_1, x_2, …, x_n}$:
-
Se $n$ (número de observações) é ímpar, a mediana é o valor do meio: $\text{Mediana} = x_{\frac{n+1}{2}}$
-
Se $n$ é par, a mediana é a média dos dois valores centrais: $\text{Mediana} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$
Exemplos
🔹 Exemplo 1: Número ímpar de elementos
Conjunto de dados:
${1,\, 3,\, 3,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9}$
Número de elementos: $n = 7$ (ímpar)
Valor central: 4ª posição → 6
Mediana = 6
🔹 Exemplo 2: Número par de elementos
Conjunto de dados:
${3,\, 5,\, 7,\, 9}$
Número de elementos: $n = 4$ (par)
Valores centrais: 2ª e 3ª posições → 5 e 7
$\text{Mediana} = \frac{5 + 7}{2} = 6$
Importância da Mediana
A mediana é uma medida de tendência central robusta. Ou seja, é menos sensível a valores extremos (outliers) do que a média.
💻 Exemplo em Julia
Vamos calcular a mediana em Julia:
# Carregando o pacote Statistics
using Statistics
# Dados dos exemplos
dados_impar = [1, 3, 3, 6, 7, 8, 9]
dados_par = [3, 5, 7, 9]
# Calculando a mediana
mediana_impar = median(dados_impar)
mediana_par = median(dados_par)
println("Dados (ímpar): ", dados_impar)
println("Mediana: ", mediana_impar)
println("\nDados (par): ", dados_par)
println("Mediana: ", mediana_par)
# Cálculo manual para o caso par
function mediana_manual(v)
sorted = sort(v)
n = length(sorted)
if n % 2 == 1 # Ímpar
return sorted[(n + 1) ÷ 2]
else # Par
return (sorted[n ÷ 2] + sorted[n ÷ 2 + 1]) / 2
end
end
println("\nCálculo manual (par): ", mediana_manual(dados_par))Saída esperada:
Um método robusto continua fornecendo resultados confiáveis mesmo quando os dados contêm valores extremos ou pequenas violações das suposições, a mediana, por exemplo, é considerada uma medida robusta porque não é afetada por valores muito altos ou muito baixos.
Em situações com valores distorcidos ou assimétricos, a mediana é mais representativa do que a média.
Mediana na Estatística Robusta
A mediana possui um ponto de ruptura de 50%, o que significa que até metade dos dados pode estar contaminada (com erros ou valores extremos) sem que a mediana seja afetada significativamente.
Isso torna a mediana essencial em áreas como:
- Análise de renda (ex: evitar distorções por bilionários)
- Avaliação de preços
- Bioestatística
Comparação: Mediana vs. Média
| Característica | Mediana | Média |
|---|---|---|
| Sensível a outliers | ❌ Não | ✅ Sim |
| Simples de calcular | ✅ Sim (dados ordenados) | ✅ Sim |
| Robustez | ✅ Alta | ❌ Baixa |
| Aplicações | Dados assimétricos, rendas | Dados simétricos, normais |
📜 História da Mediana
A mediana é uma medida estatística que representa o valor central de um conjunto ordenado de dados. Apesar de seu uso generalizado hoje, sua origem e formalização ocorreram ao longo de séculos.
🔹 Origem Antiga
A ideia de um “valor do meio” em um conjunto de dados aparece de forma implícita desde a Antiguidade, em contextos ligados à justiça, divisão proporcional e decisões imparciais. Contudo, não havia uma formulação matemática clara da mediana nesse período.
🔹 Século XVII: Primeiros Passos Formais
A primeira menção mais próxima ao conceito moderno da mediana aparece nos escritos do astrônomo e matemático Christiaan Huygens (1629–1695). Ele considerou a ideia de um ponto central como uma alternativa à média em situações envolvendo observações ruidosas.
🔹 Século XVIII: Desenvolvimento com Laplace
Foi Pierre-Simon Laplace (1749–1827), matemático francês, quem formalizou a ideia da mediana como uma ferramenta estatística robusta. Laplace utilizou a mediana como uma alternativa à média aritmética quando os dados continham erros extremos, como no problema de estimação da posição verdadeira de um astro a partir de várias observações imprecisas.
\[\text{Mediana} = \underset{m}{\arg\min} \sum_{i=1}^{n} \left| x_i - m \right|\]Laplace mostrou que a mediana minimiza a soma dos desvios absolutos:
- $x_i$ são os valores dos dados,
- $m$ é o valor candidato à mediana,
- $\arg\min$ indica o valor de $m$ que minimiza a soma,
- $ \sum \left| x_i - m \right| $ é a soma das distâncias absolutas entre os dados e $m$.
Essa definição mostra por que a mediana é resistente a outliers: ela minimiza as distâncias absolutas, ao contrário da média que minimiza os quadrados dos desvios.
Referência:
Laplace, P.S. (1812). Théorie Analytique des Probabilités. Paris.
🔹 Século XIX: Consolidação da Mediana como Medida Estatística
Durante o século XIX, a mediana começou a ser reconhecida como uma medida de tendência central distinta da média e da moda. Foi estudada principalmente em contextos onde a média era distorcida por outliers.
Sir Francis Galton (1822-1911)
Francis Galton (1822–1911), estatístico britânico e primo de Charles Darwin, popularizou o uso da mediana em estudos de características humanas, como altura e inteligência.
Galton também desenvolveu o conceito de percentis, com a mediana sendo o percentil 50.
Referência:
Galton, F. (1881). The Visions of Sane Persons. Fortnightly Review, 29, 707–717.
🔹 Século XX em diante: Uso Amplo e Estatística Robusta
Com o avanço da estatística robusta, especialmente a partir da década de 1960, a mediana ganhou grande destaque como uma alternativa resistente a valores extremos.
John W. Tukey (1915-2000)
John Tukey foi um dos grandes defensores da mediana e da estatística robusta.
Referência:
Tukey, J.W. (1960). A survey of sampling from contaminated distributions. In Contributions to Probability and Statistics (I. Olkin et al., Eds.). Stanford University Press.
3. Moda
A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Diferente da média e da mediana, a moda pode ser usada tanto para dados numéricos quanto para dados categóricos.
Definição Matemática
Para um conjunto de dados $X = {x_1, x_2, …, x_n}$, a moda é o valor $x_i$ que maximiza a função de frequência:
\[\text{Moda} = \arg\max_{x} \, f(x)\]onde $f(x)$ é o número de vezes que o valor $x$ aparece no conjunto de dados.
Propriedades da Moda
- Não é afetada por valores extremos
- Pode haver mais de uma moda (bimodal, trimodal, etc.)
- Útil para dados qualitativos (categóricos)
- Pode não existir se todos os valores tiverem a mesma frequência
Exemplos Práticos
Exemplo 1: Dados Numéricos Únicos
Conjunto de dados: ${1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5}$
Moda = 4 (ocorre 3 vezes)
Exemplo 2: Dados Categóricos
Cores de carros em um estacionamento:
Vermelho, Azul, Azul, Verde, Vermelho, Preto, Preto, Preto
Moda = Preto (ocorre 3 vezes)
Exemplo 3: Dados Bimodais
Idades em uma turma:
${18, 19, 19, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 23}$
Modas = 19 e 22 (ambos ocorrem 3 vezes)
💻 Exemplo em Julia
Vamos calcular a moda em Julia:
# Carregando o pacote StatsBase para a função mode
using StatsBase
# Exemplo 1: Dados Numéricos Únicos
dados1 = [1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]
moda1 = mode(dados1)
println("Dados 1: ", dados1)
println("Moda: ", moda1)
# Exemplo 2: Dados Categóricos
cores = ["Vermelho", "Azul", "Azul", "Verde", "Vermelho", "Preto", "Preto", "Preto"]
moda_cores = mode(cores)
println("\nCores: ", cores)
println("Moda: ", moda_cores)
# Exemplo 3: Dados Bimodais
function encontrar_modas(v)
contagem = countmap(v) # Conta a frequência de cada valor
max_contagem = maximum(values(contagem))
modas = [k for (k, v) in contagem if v == max_contagem]
return length(modas) > 1 ? modas : modas[1]
end
idades = [18, 19, 19, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 23]
modas_idades = encontrar_modas(idades)
println("\nIdades: ", idades)
println("Moda(s): ", modas_idades)
# Exemplo 4: Sem moda (todos os valores são únicos)
sem_moda = [1, 2, 3, 4, 5]
println("\nDados sem moda: ", sem_moda)
println("Função mode retorna (primeiro elemento): ", mode(sem_moda))Saída esperada:
Observações:
- A função
modedo pacoteStatsBaseretorna a primeira moda encontrada - Para conjuntos multimodais, implementamos uma função
encontrar_modasque retorna todas as modas - Em conjuntos sem moda (todos os valores são únicos), a função
moderetorna o primeiro elemento - Para dados categóricos, a função funciona da mesma forma que para dados numéricos
Contexto Histórico
Karl Pearson (1857-1936)
O conceito de moda tem raízes antigas, mas foi formalizado no século XIX juntamente com outras medidas de tendência central. Karl Pearson foi um dos primeiros a destacar a importância da moda na análise estatística, especialmente para distribuições assimétricas.
Referência:
Pearson, K. (1895). Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. (A), 186, 343-414.
Vantagens e Desvantagens
| Vantagens | Desvantagens |
|---|---|
| Fácil de entender | Pode não ser única |
| Útil para dados categóricos | Pode não existir |
| Não é afetada por valores extremos | Pode não representar bem o centro dos dados |
| Pode ser usada em qualquer escala de medição | Pode não refletir mudanças nos dados |
Quando Usar a Moda
- Dados categóricos (cores, tipos, categorias)
- Identificar o valor mais comum em uma distribuição
- Quando os dados têm múltiplos picos (distribuições multimodais)
- Análise inicial rápida de dados
Aplicações Práticas
- Varejo: Identificar produtos mais vendidos
- Pesquisas de opinião: Descobrir a resposta mais frequente
- Controle de qualidade: Encontrar defeitos mais comuns
- Demografia: Identificar faixas etárias mais comuns
- Meteorologia: Determinar a temperatura mais frequente em um período
Referências Bibliográficas
- Laplace, P.S. (1812). Théorie Analytique des Probabilités. Paris.
- Galton, F. (1881). The Visions of Sane Persons. Fortnightly Review, 29, 707–717.
- Tukey, J.W. (1960). A Survey of Sampling from Contaminated Distributions. Stanford University Press.
- Hald, A. (1998). A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. Wiley.
- Stigler, S.M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard University Press.