Análise de Variância

A Análise de Variância (ANOVA) é uma técnica estatística utilizada para comparar médias de dois ou mais grupos e verificar se pelo menos um deles difere significativamente dos demais. É amplamente empregada em experimentos científicos, controle de qualidade, ciências sociais e biológicas.

Breve História da ANOVA

A ANOVA foi desenvolvida pelo estatístico britânico Sir Ronald A. Fisher na década de 1920. Fisher introduziu a técnica em seu trabalho clássico “Statistical Methods for Research Workers” (1925), revolucionando a análise de experimentos agrícolas e, posteriormente, de diversas áreas do conhecimento.

Antes da ANOVA, os métodos estatísticos para comparar mais de dois grupos eram limitados e pouco eficientes. Fisher percebeu que, ao decompor a variabilidade total dos dados em componentes atribuíveis a diferentes fontes (entre grupos e dentro dos grupos), seria possível testar hipóteses sobre médias de vários grupos simultaneamente, sem aumentar o risco de erro tipo I.

A ANOVA rapidamente se tornou uma das ferramentas mais importantes da estatística experimental, sendo fundamental para o avanço do desenho de experimentos e da inferência estatística.

Curiosidade: O termo “variância” também foi cunhado por Fisher, que considerava a decomposição da variância uma das ideias centrais da estatística moderna.

Exemplo de ANOVA

Figura: Estatístico mostrando os resultados

Classes de Modelos na ANOVA

Existem três classes principais de modelos usados na análise de variância:

1. Modelos de Efeitos Fixos

Definição: Os níveis dos fatores (grupos) analisados são fixos e de interesse específico do pesquisador.
Exemplo: Comparar o efeito de três fertilizantes específicos (A, B, C) sobre o crescimento de plantas. Só interessam esses fertilizantes, não outros.
Interpretação: As conclusões valem apenas para os níveis estudados.

2. Modelos de Efeitos Aleatórios

Definição: Os níveis dos fatores são considerados uma amostra aleatória de uma população maior de possíveis níveis.
Exemplo: Avaliar a variação entre diferentes lotes de produção, onde os lotes são sorteados de uma grande população de lotes possíveis.
Interpretação: As conclusões podem ser generalizadas para toda a população de níveis.

3. Modelos Mistos (Efeitos Fixos e Aleatórios)

Definição: Incluem simultaneamente fatores de efeitos fixos e aleatórios.
Exemplo: Testar diferentes tratamentos (fixos) em diferentes blocos ou locais (aleatórios).
Interpretação: Permite avaliar tanto o efeito específico de certos tratamentos quanto a variabilidade geral de blocos ou ambientes.

Resumo:

Efeitos fixos: interesse nos níveis específicos.

Efeitos aleatórios: interesse na variabilidade geral.

Mistos: combinam ambos.

Essas classes de modelos determinam como interpretar os resultados da ANOVA e como generalizar as conclusões do experimento.

Visualizando a lógica da ANOVA: variabilidade entre e dentro dos grupos

julia

using StatsPlots
using DataFrames, Statistics

theme(:bright)

# Função para criar os plots
function criar_plot(titulo, variabilidade_entre, variabilidade_dentro)
    # Dados simulados com diferentes variabilidades
    df = DataFrame(grupo = repeat(["A", "B", "C"], inner=30),
                   valor = vcat(randn(30) .* variabilidade_dentro .+ 0,
                              randn(30) .* variabilidade_dentro .+ variabilidade_entre,
                              randn(30) .* variabilidade_dentro .+ 2*variabilidade_entre))

    # Mapeia grupos para posições numéricas
    grupos = unique(df.grupo)
    df.jittered_x = [findfirst(==(g), grupos) + 0.07*randn() for g in df.grupo]

    # Calcula médias
    media_geral = mean(df.valor)
    medias_por_grupo = combine(groupby(df, :grupo), :valor => mean => :media)

    # Cria o gráfico
    p = scatter(df.jittered_x, df.valor,
                group = df.grupo,
                xticks = (1:length(grupos), grupos),
                legend = :none,
                alpha = 0.6,
                lw = 0,
                markersize = 7,
                xlabel = "Grupo", ylabel = "Valor",
                title = titulo)

    # Linha da média geral
    plot!(p, [0.5, length(grupos) + 0.5], [media_geral, media_geral],
          lw = 2, linestyle = :dash, alpha = 0.6, color = :black, label = "Média Geral")

    # Linhas das médias por grupo
    for (i, row) in enumerate(eachrow(medias_por_grupo))
        plot!(p, [i - 0.3, i + 0.3], [row.media, row.media],
              lw = 3, linestyle = :dash, alpha = 0.6, color = :crimson,
              label = i == 1 ? "Médias por Grupo" : "")
    end
    
    return p
end

# Plot 1: Baixa variabilidade entre grupos - Alta variabilidade dentro dos grupos
p1 = criar_plot("Baixa variabilidade entre grupos\nAlta variabilidade dentro dos grupos", 0, 0.2)

# Plot 2: Alta variabilidade entre grupos - Baixa variabilidade dentro dos grupos
p2 = criar_plot("Alta variabilidade entre grupos\nBaixa variabilidade dentro dos grupos", 3.0, 0.5)

# Plot 3: Alguma variabilidade entre grupos - Alguma variabilidade dentro dos grupos
p3 = criar_plot("Alguma variabilidade entre grupos\nAlguma variabilidade dentro dos grupos", 1.5, 1.0)

# Exibir os plots
display(p1)
display(p2)
display(p3)

Exemplos visuais gerados pelo código acima:

Baixa variabilidade entre grupos, alta dentro

Provavelmente não há diferença significativa entre os grupos

Alta variabilidade entre grupos, baixa dentro

Diferença significativa entre grupos

Pode ou não ser significativa, depende da razão F

Como esses gráficos ilustram a lógica da ANOVA?

ANOVA é uma técnica estatística usada para comparar médias de três ou mais grupos. Ela testa a hipótese nula de que todas as médias populacionais são iguais.

A ideia central da ANOVA é:

Se a variabilidade entre os grupos for grande em relação à variabilidade dentro dos grupos, é provável que pelo menos um grupo tenha uma média significativamente diferente dos outros.

🎯 Como o exemplo ilustra isso?

A função criar_plot gera gráficos com dados simulados de três grupos (“A”, “B”, “C”), variando os níveis de:

variabilidade_entre: distância entre as médias dos grupos → está relacionado à variância entre grupos;
variabilidade_dentro: espalhamento dos valores dentro de cada grupo → está relacionado à variância dentro dos grupos.

🔍 Interpretação dos gráficos

p1: Baixa variabilidade entre / Alta dentro
- As médias dos grupos são praticamente iguais (0, 0, 0).
- Os dados estão bem espalhados dentro de cada grupo.
- Resultado esperado em uma ANOVA: provavelmente não há diferença significativa entre os grupos.
p2: Alta variabilidade entre / Baixa dentro
- As médias estão bem separadas (0, 3, 6).
- Pouca variação dentro de cada grupo.
- Resultado esperado em uma ANOVA: diferença significativa entre grupos.
p3: Variabilidade moderada entre e dentro
- Médias moderadamente diferentes.
- Espalhamento interno também moderado.
- Resultado esperado em uma ANOVA: pode ou não ser significativa, depende da razão F.

⚖️ Relação com o teste F (usado em ANOVA)

A estatística F do teste ANOVA é:

\[F = \frac{\text{Variância entre grupos}}{\text{Variância dentro dos grupos}}\]

Os gráficos estão visualizando exatamente essa razão:

Se $F$ for grande → diferença significativa.
Se $F$ for próxima de 1 → sem diferença significativa.

✅ Conclusão

Esse exemplo demonstra intuitivamente os princípios da ANOVA, sem calcular diretamente o teste. Ele é excelente para ensino, pois mostra como a diferença entre as médias dos grupos e a variabilidade interna afetam o resultado de um teste ANOVA.

Quando Usar ANOVA?

Quando deseja comparar médias de três ou mais grupos independentes.
Quando as variáveis são quantitativas e os grupos são categóricos.
Quando os pressupostos de normalidade e homocedasticidade são atendidos.

Exemplos de aplicação:

Comparar rendimento de diferentes fertilizantes em plantações.
Avaliar desempenho de alunos em diferentes métodos de ensino.

Tipos de ANOVA

ANOVA One-Way (um fator): Compara médias de grupos definidos por um único fator (ex: tipo de tratamento).
ANOVA Two-Way (dois fatores): Avalia o efeito de dois fatores e sua interação (ex: tipo de tratamento e sexo).
ANOVA de medidas repetidas: Para dados em que os mesmos indivíduos são avaliados em diferentes condições.

Pressupostos da ANOVA

Independência: As observações são independentes entre si.
Normalidade: Os resíduos (erros) seguem distribuição normal.
Homocedasticidade: As variâncias dos grupos são iguais.

Dica: Teste de Shapiro-Wilk para normalidade e Levene para homocedasticidade.

Exemplo Prático Manual (Passo a Passo)

Suponha o rendimento (em kg) de três fertilizantes em 5 plantas cada:

A: 20, 21, 19, 22, 20
B: 18, 17, 20, 16, 19
C: 23, 22, 21, 24, 25

Vamos resolver o teste ANOVA one-way completo, passo a passo:

1. Calcule a média de cada grupo

$\bar{x}_A = \frac{20 + 21 + 19 + 22 + 20}{5} = \frac{102}{5} = 20,4$
$\bar{x}_B = \frac{18 + 17 + 20 + 16 + 19}{5} = \frac{90}{5} = 18,0$
$\bar{x}_C = \frac{23 + 22 + 21 + 24 + 25}{5} = \frac{115}{5} = 23,0$

2. Calcule a média geral (sem arredondar)

$\bar{x}_G = \frac{102 + 90 + 115}{15} = \frac{307}{15} = 20,466666\ldots$

3. Calcule a Soma dos Quadrados Entre Grupos (SQB) usando médias exatas

$SQB = 5 \times [(20,4 - 20,466666\ldots)^2 + (18,0 - 20,466666\ldots)^2 + (23,0 - 20,466666\ldots)^2]$

$(20,4 - 20,466666\ldots)^2 = ( -0,066666\ldots )^2 = 0,004444\ldots$
$(18,0 - 20,466666\ldots)^2 = ( -2,466666\ldots )^2 = 6,084444\ldots$
$(23,0 - 20,466666\ldots)^2 = (2,533333\ldots )^2 = 6,417777\ldots$

$SQB = 5 \times (0,004444\ldots + 6,084444\ldots + 6,417777\ldots ) = 5 \times 12,506666\ldots = 62,533333\ldots$

4. Calcule a Soma dos Quadrados Dentro dos Grupos (SQD)

$SQD = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (x_{ij} - \bar{x}_i)^2$

Para A:
- $(20-20,4)^2 = 0,16$
- $(21-20,4)^2 = 0,36$
- $(19-20,4)^2 = 1,96$
- $(22-20,4)^2 = 2,56$
- $(20-20,4)^2 = 0,16$
- Soma A: $0,16 + 0,36 + 1,96 + 2,56 + 0,16 = 5,2$
Para B:
- $(18-18)^2 = 0$
- $(17-18)^2 = 1$
- $(20-18)^2 = 4$
- $(16-18)^2 = 4$
- $(19-18)^2 = 1$
- Soma B: $0 + 1 + 4 + 4 + 1 = 10$
Para C:
- $(23-23)^2 = 0$
- $(22-23)^2 = 1$
- $(21-23)^2 = 4$
- $(24-23)^2 = 1$
- $(25-23)^2 = 4$
- Soma C: $0 + 1 + 4 + 1 + 4 = 10$

$SQD = 5,2 + 10 + 10 = 25,2$

5. Calcule os graus de liberdade

Entre grupos: $gl_B = 3 - 1 = 2$
Dentro dos grupos: $gl_D = 15 - 3 = 12$

6. Calcule os Quadrados Médios (QM)

$QM_B = 62,533333\ldots / 2 = 31,266666\ldots$
$QM_D = 25,2 / 12 = 2,1$

7. Calcule a estatística F

$F = 31,266666\ldots / 2,1 = 14,8889$

8. Decisão

Consulte a tabela F para $gl_B = 2$ e $gl_D = 12$ ao nível de 5%: $F_{crítico} \approx 3,89$
Como $F_{calculado} = 14,89 > 3,89$, rejeitamos $H_0$.
O valor-p (calculado pelo software) é $\approx 0,0006$, confirmando a rejeição.

Conclusão:

Há diferença significativa entre as médias dos grupos. Pelo menos um fertilizante tem rendimento diferente dos outros.

Observação: Usando as médias exatas e sem arredondar valores intermediários, o valor da estatística F coincide exatamente com o resultado do Julia: 14,8889.

Exemplo em Julia