Estimadores

Conteúdo sobre estimadores estatísticos.

Introdução

Estimadores são funções ou regras que, a partir de dados amostrais, produzem valores aproximados para parâmetros desconhecidos de uma população. Eles são fundamentais na inferência estatística, pois permitem fazer previsões e tomar decisões baseadas em amostras.

Figura: O estimador é como uma "ferramenta" que transforma dados amostrais em estimativas para a população.

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Conceito de Estimador

• Estimador: É uma regra ou função matemática que associa a cada amostra um valor numérico, usado para estimar um parâmetro populacional.
• Estimativa: É o valor numérico obtido ao aplicar o estimador a uma amostra específica.

Exemplo:

• O estimador da média populacional é a média amostral ($\bar{x}$).
• O estimador da proporção populacional é a proporção amostral ($\hat{p}$).

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Propriedades dos Estimadores

1. Viés

• Um estimador é não-viesado se, em média, ele acerta o valor do parâmetro populacional.
• \[\text{Viés}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta\]
• Exemplo: A média amostral $\bar{x}$ é um estimador não-viesado da média populacional $\mu$.

2. Consistência

• Um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, ele converge para o valor verdadeiro do parâmetro.

3. Eficiência

• Entre dois estimadores não-viesados, o mais eficiente é o que tem menor variância.

4. Suficiência

• Um estimador é suficiente se utiliza toda a informação relevante da amostra sobre o parâmetro.

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Exemplos de Estimadores

1. Média Amostral

• Estimador: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$
• Parâmetro estimado: Média populacional ($\mu$)

2. Proporção Amostral

• Estimador: $\hat{p} = \frac{x}{n}$
• Parâmetro estimado: Proporção populacional ($p$)

3. Variância Amostral

• Estimador: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
• Parâmetro estimado: Variância populacional ($\sigma^2$)

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Exemplo Prático Manual (Passo a Passo)

Suponha a amostra: $[8, 10, 9, 11, 12]$

1. Média amostral: \(\bar{x} = \frac{8+10+9+11+12}{5} = \frac{50}{5} = 10\)
2. Proporção amostral (ex: quantos são maiores que 10): \(\hat{p} = \frac{2}{5} = 0,4\)
3. Variância amostral: \(s^2 = \frac{(8-10)^2 + (10-10)^2 + (9-10)^2 + (11-10)^2 + (12-10)^2}{5-1} = \frac{4+0+1+1+4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\)

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Exemplo em Julia

using Statistics

dados = [8, 10, 9, 11, 12]

# Média amostral
media = mean(dados)
# Proporção de valores > 10
prop = count(x -> x > 10, dados) / length(dados)
# Variância amostral
variancia = var(dados, corrected=true)

println("Média amostral: $media")
println("Proporção amostral (>10): $prop")
println("Variância amostral: $variancia")

# Saída

Média amostral: 10.0
Proporção amostral (>10): 0.4
Variância amostral: 2.5

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Avisos Importantes

• O estimador é uma função, a estimativa é o valor numérico obtido.
• Estimadores diferentes podem ser usados para o mesmo parâmetro, mas nem todos são igualmente bons.
• Sempre verifique as propriedades do estimador para garantir a qualidade da inferência.

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Referências Bibliográficas

1. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2010). Applied Statistics and Probability for Engineers.
2. Morettin, P. A., & Bussab, W. O. (2017). Estatística Básica.
3. Triola, M. F. (2017). Introdução à Estatística.