As medidas de dispersão são ferramentas essenciais na estatística descritiva que nos ajudam a entender o quão espalhados ou concentrados estão os dados em torno de uma medida de tendência central, geralmente a média. Enquanto as medidas de tendência central mostram o valor típico, as medidas de dispersão mostram a variabilidade dos dados.
As principais medidas de dispersão são:
- Amplitude
- Variância
- Desvio Padrão
- Coeficiente de Variação
- Intervalo Interquartil (IQR)
Símbolos e Suas Origens
Na estatística, diferentes símbolos são usados para representar as medidas de dispersão, cada um com sua origem e significado específicos:
1. Variância
- Símbolo Populacional: $\sigma^2$ (sigma minúsculo ao quadrado)
- Origem: A letra grega sigma ($\sigma$) foi escolhida por Karl Pearson no início do século XX para representar o desvio padrão populacional. O quadrado do desvio padrão ($\sigma^2$) passou a representar a variância.
- Significado: O quadrado simboliza a função quadrática usada no cálculo, que elimina valores negativos e dá maior peso a desvios maiores.
- Símbolo Amostral: $s^2$
- Origem: Segue a convenção de usar letras latinas para estatísticas amostrais. O “s” vem de “standard deviation” (desvio padrão em inglês).
- Significado: O expoente 2 indica que é uma medida de dispersão ao quadrado, mantendo a mesma lógica da notação populacional.
2. Desvio Padrão
- Símbolo Populacional: $\sigma$ (sigma minúsculo)
- Origem: Introduzido por Karl Pearson em 1894, baseado na letra grega sigma, que representa um “s” em grego (de “standard”).
- Significado: Representa o desvio típico dos valores em relação à média populacional.
- Símbolo Amostral: $s$
- Origem: Versão em letra latina do sigma grego, seguindo a convenção estatística.
- Significado: Indica o desvio padrão calculado a partir de uma amostra da população.
3. Coeficiente de Variação
- Símbolo: $CV$
- Origem: A sigla vem do inglês “Coefficient of Variation”.
- Significado: Representa a razão entre o desvio padrão e a média, expressa em porcentagem. Não possui notação diferente para população e amostra, pois já é uma medida relativa.
4. Intervalo Interquartil
- Símbolo: $IQR$ (do inglês “Interquartile Range”)
- Origem: A sigla foi adotada do termo em inglês para facilitar a comunicação internacional.
- Significado: Representa a distância entre o primeiro ($Q_1$) e o terceiro ($Q_3$) quartis, abrangendo os 50% centrais dos dados.
5. Amplitude
- Símbolo: $A$ ou $R$ (de “range” em inglês)
- Origem: O “R” vem do termo em inglês “range”, que significa intervalo ou amplitude.
- Significado: Representa a diferença entre os valores máximo e mínimo de um conjunto de dados.
Convenção de Notação:
- Letras gregas ($\sigma$, $\mu$) são usadas para parâmetros populacionais (valores fixos, porém geralmente desconhecidos).
- Letras latinas ($s$, $\bar{x}$) são usadas para estatísticas amostrais (valores calculados a partir de dados amostrais).
- A distinção entre parâmetros e estatísticas é fundamental na inferência estatística.
Conjuntos de dados com a mesma média podem ter distribuições completamente diferentes em termos de variabilidade.
1. Amplitude
A amplitude é a medida de dispersão mais simples, representando a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.
Fórmula
\[\text{Amplitude} = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}}\]Exemplo Prático
Considere o conjunto de idades ordenadas:
\[\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\} = \{18, 20, 22, 25, 30, 35, 40\}\]- Valor máximo: $x_{\text{máx}} = x_7 = 40$
- Valor mínimo: $x_{\text{mín}} = x_1 = 18$
- Amplitude: $A = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}} = 40 - 18 = 22$ anos
Vantagens e Limitações
Vantagens:
- Fácil de calcular
- Fácil de interpretar
Limitações:
- Sensível a valores extremos (outliers)
- Não leva em conta a distribuição dos dados entre os extremos
A amplitude pode ser enganosamente grande mesmo quando a maioria dos dados está concentrada. Por exemplo, em um conjunto como {1, 2, 2, 2, 2, 2, 100}, a amplitude é 99, mas 6 dos 7 valores são 1 ou 2!
Use a amplitude para uma primeira impressão da dispersão, mas sempre complemente com outras medidas como o desvio padrão ou IQR para uma visão mais completa.
2. Variância
A variância mede o quanto os valores de um conjunto de dados se afastam da média. É calculada como a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
Fórmula (Populacional)
\[\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2\]Fórmula (Amostral)
\[s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\]Exemplo Prático
Considere o conjunto de notas amostrais:
\[\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\} = \{7, 8, 8, 9, 10\}\]-
Calcule a média amostral ($\bar{x}$): \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5}x_i}{n} = \frac{7 + 8 + 8 + 9 + 10}{5} = \frac{42}{5} = 8.4\)
-
Calcule os desvios em relação à média e eleve ao quadrado: \((x_1 - \bar{x})^2 = (7 - 8.4)^2 = (-1.4)^2 = 1.96\) \((x_2 - \bar{x})^2 = (8 - 8.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16\) \((x_3 - \bar{x})^2 = (8 - 8.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16\) \((x_4 - \bar{x})^2 = (9 - 8.4)^2 = (0.6)^2 = 0.36\) \((x_5 - \bar{x})^2 = (10 - 8.4)^2 = (1.6)^2 = 2.56\)
-
Some os desvios ao quadrado: \(\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2 = 1.96 + 0.16 + 0.16 + 0.36 + 2.56 = 5.2\)
-
Divida por $n-1$ (para variância amostral): \(s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{5.2}{4} = 1.3\)
Portanto, a variância amostral é $s^2 = 1.3$.
O conceito de variância foi formalizado por Ronald Fisher em 1918, mas suas origens remontam a trabalhos anteriores de Gauss e Laplace sobre o método dos mínimos quadrados. Fisher a chamou inicialmente de "dispersão", mas o termo "variância" prevaleceu por sua clareza conceitual.
3. Desvio Padrão
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem a vantagem de estar na mesma unidade de medida dos dados originais.
Fórmula (Populacional)
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]Fórmula (Amostral)
\[s = \sqrt{s^2}\]Exemplo Prático
Continuando com o exemplo anterior, onde calculamos a variância amostral $s^2 = 1.3$:
\[s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1.3} \approx 1.14\]Isso significa que o desvio padrão amostral é $s \approx 1.14$ pontos. Em outras palavras, em média, as notas desviam-se aproximadamente $1.14$ pontos da média amostral $\bar{x} = 8.4$.
Para distribuições normais, aproximadamente: - 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média ($\bar{x} \pm s$) - 95% dentro de 2 desvios padrão - 99.7% dentro de 3 desvios padrão
4. Coeficiente de Variação (CV)
O coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão, expressa em porcentagem, que relaciona o desvio padrão à média.
Fórmula
\[CV = \left(\frac{s}{\bar{x}}\right) \times 100\%\]Exemplo Prático
Considere dois conjuntos de dados com as seguintes estatísticas:
- Conjunto A:
- Média: $\mu_A = 50$
- Desvio Padrão: $\sigma_A = 5$
- CV: $CV_A = \left(\frac{\sigma_A}{\mu_A}\right) \times 100\% = \left(\frac{5}{50}\right) \times 100\% = 10\%$
- Conjunto B:
- Média: $\mu_B = 500$
- Desvio Padrão: $\sigma_B = 20$
- CV: $CV_B = \left(\frac{\sigma_B}{\mu_B}\right) \times 100\% = \left(\frac{20}{500}\right) \times 100\% = 4\%$
Como $CV_A > CV_B$ (10% > 4%), o Conjunto A apresenta maior dispersão relativa em relação à sua média.
O Coeficiente de Variação não deve ser usado quando a média está próxima de zero, pois pode levar a valores extremamente altos e enganosos. Além disso, só faz sentido para dados em escala de razão (com zero absoluto bem definido).
5. Intervalo Interquartil (IQR)
O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1), representando a faixa que contém os 50% centrais dos dados.
Fórmula
\[IQR = Q3 - Q1\]Exemplo Prático
Considere o conjunto de idades ordenadas:
\[\{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}, x_{(4)}, x_{(5)}, x_{(6)}, x_{(7)}\} = \{18, 20, 22, 25, 30, 35, 40\}\]- Primeiro Quartil (Q₁):
- Posição: $Q_1$ = 25º percentil
- Fórmula: $Q_1 = x_{(\frac{n+1}{4})} = x_{(2)} = 20$
- Terceiro Quartil (Q₃):
- Posição: $Q_3$ = 75º percentil
- Fórmula: $Q_3 = x_{(\frac{3(n+1)}{4})} = x_{(6)} = 35$
- Intervalo Interquartil (IQR): \(IQR = Q_3 - Q_1 = 35 - 20 = 15 \text{ anos}\)
Portanto, os 50% centrais das idades estão compreendidos entre 20 e 35 anos, com uma dispersão de 15 anos.
O IQR é fundamental para identificar valores atípicos. Geralmente, considera-se como outliers os valores que estão abaixo de $Q_1 - 1.5 \times IQR$ ou acima de $Q_3 + 1.5 \times IQR$. No nosso exemplo, qualquer valor abaixo de $20 - 1.5 \times 15 = -2.5$ ou acima de $35 + 1.5 \times 15 = 57.5$ seria considerado um outlier.
Comparação entre as Medidas
| Medida | Vantagens | Limitações |
|---|---|---|
| Amplitude | Fácil de calcular | Sensível a outliers |
| Variância | Considera todos os dados | Unidade ao quadrado |
| Desvio Padrão | Mesma unidade dos dados | Sensível a outliers |
| Coeficiente de Variação | Comparação entre conjuntos | Não se aplica a média zero |
| IQR | Robusto a outliers | Desconsidera 50% dos dados |
Aplicações Práticas
- Controle de Qualidade: O desvio padrão é amplamente usado em gráficos de controle para monitorar processos.
- Finanças: O desvio padrão é usado como medida de risco em investimentos.
- Pesquisa: O IQR é frequentemente usado em boxplots para identificar valores atípicos.
- Meteorologia: A amplitude térmica é uma medida de dispersão usada em previsões do tempo.
Referências
- Bussab, W. O.; Morettin, P. A. (2017). Estatística Básica. Saraiva.
- Triola, M. F. (2017). Introdução à Estatística. LTC.
- Moore, D. S.; Notz, W. I.; Fligner, M. A. (2014). A Estatística Básica e Sua Prática. LTC.